கொஞ்சநேரம் கணக்குக்காக

[M.Jagadeesan]

சரியான விடையளித்த ஜெயந்த் அவர்களுக்கு நன்றி.

[M.Jagadeesan]

கேள்விக்குறி உள்ள இடத்தில் வரவேண்டிய எண் எது ? விடைக்கு விளக்கம் தரவும்.

[கும்பகோணத்துப்பிள்ளை]

7+9-4 = 12
1+4-1 = 4
6+5-2 = 9

விடை 9 சரியா ஜயா?

[M.Jagadeesan]

சரியான விடையளித்த பிள்ளை அவர்களுக்கு நன்றி.

[M.Jagadeesan]

தீப்பெட்டி ஒன்றில் 48 குச்சிகள் உள்ளன. அதை 3 சமமற்ற குவியலாக கொட்டப்பட்டன.

• 2 வது குவியலில் எவ்வளவு குச்சிகள் உள்ளதோ, அதே அளவு குச்சிகள் 1 வது குவியலிலிருந்து எடுத்து 2 வது குவியலுடன் சேர்க்கப்படுகின்றது.

• 
• 3 வது குவியலில் எவ்வளவு குச்சிகள் உள்ளதோ, அதே அளவு குச்சிகள் 2 வது குவியலிலிருந்து எடுத்து 3 வது குவியலுடன் சேர்க்கப்படுகின்றது.

• பின்னர் 1 வது குவியலில் எவ்வளவு குச்சிகள் உள்ளதோ, அதே அளவு குச்சிகள் 3 வது குவியலிலிருந்து எடுத்து 1 வது குவியலுடன் சேர்க்கப்படுகின்றது.

இப்படி சேர்க்கப்பட்டவுடன் 3 குவியல்களிலும் குச்சிகள் சமமான எண்ணிக்கையை காட்டின.

அப்படியானால் ஆரம்பத்தில் ஒவ்வொரு (சமமற்ற) குவியல்களில் இருந்த குச்சிகளின் எண்ணிக்கை எவ்வளவு?

[M.Jagadeesan]

எத்தனை இளநீர்
அசுவத்தாமன் சில இளநீர்கள் பறித்து வந்தான்.அவற்றில் பாதியையும் கூடுதலாக ஒன்றையும் கார்த்திக்கிற்கு கொடுத்தான்.மீதியில் பாலாவுக்கு பாதியும் கூடுதலாக ஒன்றும் கொடுத்தான்.மீதி இருந்ததில் விச்சுவுக்கு பாதியும் கூடுதலாக ஒன்றும் கொடுத்தால்,மீதம் அசுவத்தாமன் கையில் ஒரு இளநீர் மட்டுமே இருந்தது என்றால்,

அசுவத்தாமன் பறித்த இளநீர் எத்தனை?

[கீதம்]

தீப்பெட்டி ஒன்றில் 48 குச்சிகள் உள்ளன. அதை 3 சமமற்ற குவியலாக கொட்டப்பட்டன.

மூன்று சமமற்ற குவியல்களையும் x,y,z என்று கொள்வோம்.

2 வது குவியலில் எவ்வளவு குச்சிகள் உள்ளதோ, அதே அளவு குச்சிகள் 1 வது குவியலிலிருந்து எடுத்து 2 வது குவியலுடன் சேர்க்கப்படுகின்றது.

இப்போது x,y,z என்பது கீழ்க்கண்டவாறு மாறியிருக்கும்.

x-y

2y

z

3 வது குவியலில் எவ்வளவு குச்சிகள் உள்ளதோ, அதே அளவு குச்சிகள் 2 வது குவியலிலிருந்து எடுத்து 3 வது குவியலுடன் சேர்க்கப்படுகின்றது.

x-y

2y-z

2z

பின்னர் 1 வது குவியலில் எவ்வளவு குச்சிகள் உள்ளதோ, அதே அளவு குச்சிகள் 3 வது குவியலிலிருந்து எடுத்து 1 வது குவியலுடன் சேர்க்கப்படுகின்றது.

(x-y)+(x-y)

2y

2z-(x-y)

இப்படி சேர்க்கப்பட்டவுடன் 3 குவியல்களிலும் குச்சிகள் சமமான எண்ணிக்கையை காட்டின.

2x-2y = 2y = 2z-x+y

சமன்பாடுகளை நேர்செய்ய X=2y என்றும் Z= 1.5y என்றும் விடைகிடைக்கிறது.

எனவே குச்சிகளின் எண்ணிக்கை ஆரம்பத்தில் 2 : 1 : 1.5 என்ற விகிதத்தின் அடிப்படையில் இருந்திருக்கும். குறைந்த பட்ச முழுஎண்களாக x,y,z இவை முறையே 4, 2, 3 என்ற எண்ணிக்கையிலும் தொடர்ந்து (8,4,6), (12,6,9)….(20,10,15)…. என்றும் இருக்கும்.

[தாமரை]

தீப்பெட்டி ஒன்றில் 48 குச்சிகள் உள்ளன. அதை 3 சமமற்ற குவியலாக கொட்டப்பட்டன.

• 2 வது குவியலில் எவ்வளவு குச்சிகள் உள்ளதோ, அதே அளவு குச்சிகள் 1 வது குவியலிலிருந்து எடுத்து 2 வது குவியலுடன் சேர்க்கப்படுகின்றது.

• 
• 3 வது குவியலில் எவ்வளவு குச்சிகள் உள்ளதோ, அதே அளவு குச்சிகள் 2 வது குவியலிலிருந்து எடுத்து 3 வது குவியலுடன் சேர்க்கப்படுகின்றது.

• பின்னர் 1 வது குவியலில் எவ்வளவு குச்சிகள் உள்ளதோ, அதே அளவு குச்சிகள் 3 வது குவியலிலிருந்து எடுத்து 1 வது குவியலுடன் சேர்க்கப்படுகின்றது.

இப்படி சேர்க்கப்பட்டவுடன் 3 குவியல்களிலும் குச்சிகள் சமமான எண்ணிக்கையை காட்டின.

அப்படியானால் ஆரம்பத்தில் ஒவ்வொரு (சமமற்ற) குவியல்களில் இருந்த குச்சிகளின் எண்ணிக்கை எவ்வளவு?

இதற்கு விடை பல உண்டு. சமமாக இருக்கும் பொழுது அவை எட்டின் மடங்குகளாக இருக்கும்.

8, 16, 24 இப்படி..

அதே சமயம் ஆரம்பத்தில் முதல் குவியலில் 11ன் மடங்காகவும், இரண்டாம் குவியலில் 7ன் மடங்காகவும், 3 ஆம் குவியலில் 6 ன் மடங்காகவும் வரும்.

உதாரணமாக

குவியல் 1 - 11 4 4 8
குவியல் 2 - 7 14 8 8
குவியல் 3 - 6 6 12 8

குவியல் 1 - 22 8 8 16
குவியல் 2 - 14 28 16 16
குவியல் 3 - 12 12 24 16

குவியல் 1 - 33 12 12 24
குவியல் 2 - 21 42 24 24
குவியல் 3 - 18 18 36 24

[தாமரை]

எத்தனை இளநீர்
அசுவத்தாமன் சில இளநீர்கள் பறித்து வந்தான்.அவற்றில் பாதியையும் கூடுதலாக ஒன்றையும் கார்த்திக்கிற்கு கொடுத்தான்.மீதியில் பாலாவுக்கு பாதியும் கூடுதலாக ஒன்றும் கொடுத்தான்.மீதி இருந்ததில் விச்சுவுக்கு பாதியும் கூடுதலாக ஒன்றும் கொடுத்தால்,மீதம் அசுவத்தாமன் கையில் ஒரு இளநீர் மட்டுமே இருந்தது என்றால்,

அசுவத்தாமன் பறித்த இளநீர் எத்தனை?

பின்னிருந்து வருவோம்..

அசுவத்தாமன் கையில் மிச்சமிருந்தது = 1
விச்சுவுக்கு கொடுக்கும் முன் = (1+1) x 2 = 4 (விச்சுவுக்கு கொடுத்தது 3)
பாலாவுக்குக் கொடுக்கும் முன் = (4+1) x 2 = 10 (பாலாவுக்குக் கொடுத்தது 6)
கார்த்திக்குக் கொடுக்கும் முன் = (10 + 1) x 2 = 22 (கார்த்திக்கு கொடுத்தது 12)

அசுவத்தாமன் பறித்தது 22 இளநீர்கள்.

[M.Jagadeesan]

தீப்பெட்டி ஒன்றில் 48 குச்சிகள் உள்ளன. அதை 3 சமமற்ற குவியலாக கொட்டப்பட்டன.

மூன்று சமமற்ற குவியல்களையும் x,y,z என்று கொள்வோம்.

2 வது குவியலில் எவ்வளவு குச்சிகள் உள்ளதோ, அதே அளவு குச்சிகள் 1 வது குவியலிலிருந்து எடுத்து 2 வது குவியலுடன் சேர்க்கப்படுகின்றது.

இப்போது x,y,z என்பது கீழ்க்கண்டவாறு மாறியிருக்கும்.

x-y

2y

z

3 வது குவியலில் எவ்வளவு குச்சிகள் உள்ளதோ, அதே அளவு குச்சிகள் 2 வது குவியலிலிருந்து எடுத்து 3 வது குவியலுடன் சேர்க்கப்படுகின்றது.

x-y

2y-z

2z

பின்னர் 1 வது குவியலில் எவ்வளவு குச்சிகள் உள்ளதோ, அதே அளவு குச்சிகள் 3 வது குவியலிலிருந்து எடுத்து 1 வது குவியலுடன் சேர்க்கப்படுகின்றது.

(x-y)+(x-y)

2y

2z-(x-y)

இப்படி சேர்க்கப்பட்டவுடன் 3 குவியல்களிலும் குச்சிகள் சமமான எண்ணிக்கையை காட்டின.

2x-2y = 2y = 2z-x+y

சமன்பாடுகளை நேர்செய்ய X=2y என்றும் Z= 1.5y என்றும் விடைகிடைக்கிறது.

எனவே குச்சிகளின் எண்ணிக்கை ஆரம்பத்தில் 2 : 1 : 1.5 என்ற விகிதத்தின் அடிப்படையில் இருந்திருக்கும். குறைந்த பட்ச முழுஎண்களாக x,y,z இவை முறையே 4, 2, 3 என்ற எண்ணிக்கையிலும் தொடர்ந்து (8,4,6), (12,6,9)….(20,10,15)…. என்றும் இருக்கும்.

கீதம் அவர்களுக்கு,

சமன்பாடுகளை எல்லாம் சரியாக அமைத்துள்ளீர்கள்; ஆனால் விடையை மட்டும் விகிதத்தின் அடிப்படையில் கொடுத்துள்ளீர்கள்.
மொத்த தீக்குச்சிகளின் எண்ணிக்கை= 48

கணக்குப்படி கடைசியில் ஒவ்வொரு குவியலிலும் குச்சிகளின் எண்ணிக்கை சரியாக உள்ளது. எனவே ஒவ்வொரு குவியலிலும் இருக்கும் குச்சிகளின் எண்ணிக்கை= 16 ஆகும்.

இப்பொழுது x, Y, Z ஆகிய மாறிகளின் மதிப்பைக் காண்போம்.

2 ( X-Y ) = 16 , 2Y-Z = 16, 2z- (X - Y ) = 16 இவற்றை முறையே முதல் சமன்பாடு, இரண்டாம் சமன்பாடு, மூன்றாம் சமன்பாடு என்று வைத்துக் கொள்வோம்.
முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளை தீர்த்து Z -ன் மதிப்பைக் காண்போம்.

அதாவது 2X- 2Y = 16
..............2y-Z = 16
-----------------------
கூட்ட.....2X -Z = 32
அதாவது Z = 2X-32 ஆகும்.
அடுத்து மூன்றாம் சமன்பாடு 2Z- ( X - y ) = 16 ஆகும்.
அதாவது 2Z-X + Y = !6
இந்த சமன்பாட்டில் Z ன் மதிப்பை பிரதியிட
2 ( 2X-32 )- X + Y = 16
4X - 64 - X + Y = 16
சுருக்கினால் 3X + Y = 80 என வரும். இதை நான்காம் சமன்பாடு என வைத்துக் கொள்வோம்.

.................2X - 2 Y = 16 என்பது முதல் சமன்பாடு. இதை 2 ஆல் வகுக்க
..................X - Y = 8 என்று வரும். இதை ஐந்தாம் சமன்பாடு எனக் கொள்வோம்.

இப்பொழுது 4 ஆம் சமன்பாட்டையும் 5 ஆம் சமன்பாட்டையும் கூட்ட

4X = 88 என வரும். அதாவது X = 22 என வரும்.
X ன் மதிப்பை முதல் சமன்பாட்டில் பிரதியிட Y = 14 என வரும்.
Y ன் மதிப்பை இரண்டாம் சமன்பாட்டில் பிரதியிட Z = 12 என வரும்.

எனவே முதலில்
முதல் குவியலில் இருந்த குச்சிகளின் எண்ணிக்கை = 22
இரண்டாம் குவியலில் இருந்த குச்சிகளின் எண்ணிக்கை = 14
மூன்றாம் குவியலில் இருந்த குச்சிகளின் எண்ணிக்கை =12
===============================================

[M.Jagadeesan]

பின்னிருந்து வருவோம்..

அசுவத்தாமன் கையில் மிச்சமிருந்தது = 1
விச்சுவுக்கு கொடுக்கும் முன் = (1+1) x 2 = 4 (விச்சுவுக்கு கொடுத்தது 3)
பாலாவுக்குக் கொடுக்கும் முன் = (4+1) x 2 = 10 (பாலாவுக்குக் கொடுத்தது 6)
கார்த்திக்குக் கொடுக்கும் முன் = (10 + 1) x 2 = 22 (கார்த்திக்கு கொடுத்தது 12)

அசுவத்தாமன் பறித்தது 22 இளநீர்கள்.

சரியான விடையளித்த தாமரை அவர்களுக்கு நன்றி.

[கீதம்]

கீதம் அவர்களுக்கு,

சமன்பாடுகளை எல்லாம் சரியாக அமைத்துள்ளீர்கள்; ஆனால் விடையை மட்டும் விகிதத்தின் அடிப்படையில் கொடுத்துள்ளீர்கள்.
மொத்த தீக்குச்சிகளின் எண்ணிக்கை= 48

கணக்குப்படி கடைசியில் ஒவ்வொரு குவியலிலும் குச்சிகளின் எண்ணிக்கை சரியாக உள்ளது. எனவே ஒவ்வொரு குவியலிலும் இருக்கும் குச்சிகளின் எண்ணிக்கை= 16 ஆகும்.

இப்பொழுது x, Y, Z ஆகிய மாறிகளின் மதிப்பைக் காண்போம்.

2 ( X-Y ) = 16 , 2Y-Z = 16, 2z- (X - Y ) = 16 இவற்றை முறையே முதல் சமன்பாடு, இரண்டாம் சமன்பாடு, மூன்றாம் சமன்பாடு என்று வைத்துக் கொள்வோம்.
முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளை தீர்த்து Z -ன் மதிப்பைக் காண்போம்.

அதாவது 2X- 2Y = 16
..............2y-Z = 16
-----------------------
கூட்ட.....2X -Z = 32
அதாவது Z = 2X-32 ஆகும்.
அடுத்து மூன்றாம் சமன்பாடு 2Z- ( X - y ) = 16 ஆகும்.
அதாவது 2Z-X + Y = !6
இந்த சமன்பாட்டில் Z ன் மதிப்பை பிரதியிட
2 ( 2X-32 )- X + Y = 16
4X - 64 - X + Y = 16
சுருக்கினால் 3X + Y = 80 என வரும். இதை நான்காம் சமன்பாடு என வைத்துக் கொள்வோம்.

.................2X - 2 Y = 16 என்பது முதல் சமன்பாடு. இதை 2 ஆல் வகுக்க
..................X - Y = 8 என்று வரும். இதை ஐந்தாம் சமன்பாடு எனக் கொள்வோம்.

இப்பொழுது 4 ஆம் சமன்பாட்டையும் 5 ஆம் சமன்பாட்டையும் கூட்ட

4X = 88 என வரும். அதாவது X = 22 என வரும்.
X ன் மதிப்பை முதல் சமன்பாட்டில் பிரதியிட Y = 14 என வரும்.
Y ன் மதிப்பை இரண்டாம் சமன்பாட்டில் பிரதியிட Z = 12 என வரும்.

எனவே முதலில்
முதல் குவியலில் இருந்த குச்சிகளின் எண்ணிக்கை = 22
இரண்டாம் குவியலில் இருந்த குச்சிகளின் எண்ணிக்கை = 14
மூன்றாம் குவியலில் இருந்த குச்சிகளின் எண்ணிக்கை =12
===============================================

தெளிவுபடுத்தியமைக்கு நன்றி ஐயா. என் மூளைக்கு வேலை கொடுத்து நாளாயிற்று... அதான் இப்படி...